オシロのリサージュデータから円形からの偏差を求めたいという話。
データは、Ｘ，Ｙ座標の２次元。円の中心を最小自乗法で求めれば良いのだが・・・
円の方程式は
(X-X0)^2+(Y-Y0)^2=R^2なので、定義から計算してみた。
どうしても、Ｘ、Ｙそれぞれの平均値が中心という結果になってしまう。
データが極めて多い場合はそれで近似できるが、少ない場合は当てはまらない・・・。
ネットで検索したら意外と簡単に判ったので、一安心。
円を表すモデルは
(X(n) - a)^2 + (Y(n) - b)^2 = r^2
なので、これを展開して
X(n)^2 - 2aX(n) + a^2 + Y(n)^2 - 2bY(n) + b^2 - r^2 = 0
整理すると
(X(n)^2 + Y(n)^2) = 2aX(n) + 2bY(n) - (a^2 +b^2 - r^2)
ここで、
c = -(a^2 +b^2 - r^2)
とおけば
(X(n)^2 + Y(n)^2) = a(2X(n)) + b(2Y(n)) + c
という、a,b,cに関する１次方程式になり、これがn=1,2,3....,N (N=測定点の個数）
だけ並んでいる事となる。
これならば、最小自乗法の定義から、円の中心a,b とcが分かり、a,b,cから 半径r が計算できる、結果だけ記すと。
(n)を省略して、行列で表し、
sum((2*X)^2) sum(2X・2Y) sum(2*X)
sum(2X・2Y) sum((2*Y)^2) sum(2*Y)
sum(2*X) sum(2*Y) sum(N)
の行列に
a
b
c
a,b,c を作用させると
sum(2X(X^2+Y^2))
sum(2Y(X^2+Y^2))
sum(X^2+Y^2)
となる。
逆行列を求めれば、 a,b,c が算出できる。
この項完。
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