温度と熱の違いは何か。
温度の高いものと低いものを接触させると、高いものから低いものへ熱が移動し、同じ温度になろうとする。熱とは何だろう、物体を構成している分子や原子が振動するということが温度が上がるという事らしい、熱とはエネルギーの一形態であり、温度とは物体を構成している原子や分子の度合いであり、熱を伝えるのは電子が行う。
原子や分子の振動はいくらでも大きくなる、だから高温に限界は無い、でも逆に動きが止まるとそれ以下は無い、動きが止まった時の温度が絶対零度（K=0)、-273℃と呼ばれ、低温には限界があるのだ。
熱が物質内を通して移動することを熱伝導という。
そして、物体は温度が上がると寸法が大きくなる。これを熱膨張と言い、物質に寄ってその大きさは異なる。その大きくなる状態を制限されると、物体を曲げたりのばしたりした時と同じように物体に力がかかる、これを熱応力といい、物体が曲がったり伸びたり、破壊されたりする。
温度の伝わり方を予測することは大事である。
熱伝導方程式と言うものがある。
熱の伝わり方は物質に寄って異なる。熱の伝わりやすさを熱伝導率λと言う。
言葉で表すと、単位温度勾配、単位面積あたりに伝わる熱量で、[W/mK]の次元を持つ。
伝熱量は[W]=[J/s] 1秒間に１J(ジュール）の熱量が移動した時1W(ワット）の次元を持つ。
電力の[W]と同じで、電圧１V、電流１Aの電気がヒーターに流れている時の発熱量が1[V]×1[A]=1[W]となる。
熱の流れが1方向の時を熱伝導方程式で表そう。
温度勾配 dT/dx（dx[m]の距離でdt[K]の温度差）で伝熱面積がA[m2]、熱伝導率がλ[W/mK]の時に流れる熱量は
q[J/s]=-λA dT/dx と表される。dt時間流れると、熱量は
Q[J]=-λA dT/dx dt
1次元なので、微小部分dxを考えると上流と下流、流れ込みと流れ出しがある。
微小部分dxへ流れ込む熱量は q[J/s]＝λA d2T/dx2 と2階の微分方程式となる。
その微小部分dxにdt時間に流れ込んだ熱量と体積V=Adx、密度ρ
、比熱Cと温度上昇dTの関係は流入した熱量を、その部分の熱容量VCρで割れば求まる
dT=Q/(CρAdx) = q/(CρAdx)・dt = λA d2T/dx2 /(CρAdx)・dt
dT/dt = λ/(Cρdx)d2T/dx2
となる。この微分方程式を解けば解析的に求まることになるが、一般的には数値解が求まれば良いので、差分法を使うと手っ取り早い。
距離dxの三つの要素の温度 T(1), T(2), T(3) を考えて、中央のT(2)の温度上昇を求めよう
T(1)⇒T(2) の熱量 Q1=-λA(T(2)-T(1))/dx・dt
T(2)⇒T(3) の熱量 Q2=-λA(T(3)-T(2))/dx・dt
T(2）へ流れ込む熱量は Q=Q1-Q2=λA(T(1)+T(3)-2T(2))/dx・dt
これを熱容量（AdxCρ）で割ると
dt時間のT(2)の上昇量は
ΔT(2) = λ/(Cρ）(T(1)+T(3)-2T(2))/dx2・dt
と表される代数計算になる。
新しいT(2)は計算に使った現在のT(2)+ΔT(2)で置き換えて行くことになる。
が、
ΔT(2) = (Q1-Q2)/(Cρdx）dt
のままで考えた方が良い、
何故なら、放熱や、異なる物質間の熱移動は式の形が異なるので
1方向づつの流れを計算して熱収支を考える方が計算しやすい。
このように、ある時間の状態量からdt後の温度の増減を計算していく。
熱伝導率が異なる物質の境界はどう考えるか、
ST(3)→CT(1) で、dxの間隔の中央の温度をTとすると
境界の温度をTとすると
ST(3)→T Q1=-λs(T-ST(3)/(dx/2)・dt
T→CT(1) Q2=-λc(CT(1)-T)/(dx/2)・dt
Q=Q1=Q2であると考え
Q＝-λ(CT(1)-ST(3)/dx・dt
λ＝2λsλc/(λs+λc)
という合成された熱伝導率を得る
放熱の場合はニュートンの冷却の法則を使う事になる。
この場合の熱移動は熱伝達率αを使って
Q=ΔTαA・dt となる。
ΔTは周囲空気と物体の温度さになる。
熱伝達率は自然の放熱の場合と、風などを送る強制冷却で異なる。
後、境界条件の与え方だが、温度で与えてしまうのが考えやすい、ヒーターなどでの過熱の場合は熱流束（流れ込む熱量）で与えられる。
これも解析解では難しいが差分法ならば比較的簡単に実現できる。
φ50ステンレスの棒と銅の棒が繋がっていて、ステンレスの端を過熱、銅の先端から放熱というモデルを作りました。
dx=10mm という全長60の棒になります。
ST(1),ST(2),ST(3)がSUS316、CT(1),CT(2),CT(3)が銅部分になります。
境界条件として、温度と熱流束を与えたモデルを参考にしてください。
温度の場合、初期は空気の温度で20℃、左端が25℃なった時の温度変化を計算しています。
自然放熱 熱伝達率6[W/m2K]では放熱効果は少ないので全体に25℃にたっしてしまいます。
銅は熱伝導が高いので、銅部分はほぼ一様に温度上昇しています。SUS316部分は温度差が生じています。
放熱のカーブとST(1)からST(2)への熱移動が一致したところが定常状態ということです。
差分法の場合はメッシュの大きさや物性値で発散してしまい計算が出来ない場合があります。時間の差分を小さく取るしか方法は無いようです。従って沢山の計算をしなければならなくなります。パソコンの性能が上がったからこそ出来る計算です。
この項完。
[2019.1.5]
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